Cực trị: điều kiện, dấu đạo hàm và hình học đồ thị

Cực trị là khái niệm địa phương. f đạt cực đại tại x₀ nếu f(x₀) lớn hơn hoặc bằng các giá trị đủ gần; cực tiểu định nghĩa tương tự. Điều này không khẳng định f(x₀) là lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên toàn tập xác định.

Dấu hiệu qua đạo hàm

Nếu f′ đổi dấu từ dương sang âm qua x₀, hàm đi từ tăng sang giảm nên x₀ là điểm cực đại. Nếu f′ đổi từ âm sang dương, x₀ là điểm cực tiểu. Điểm f′=0 nhưng không đổi dấu không phải cực trị.

Với f=x⁴−2x², f′=4x(x²−1), các mốc −1,0,1. Bảng dấu cho cực tiểu tại x=−1 và x=1 với giá trị −1, cực đại tại x=0 với giá trị 0.

Đạo hàm cấp hai

Nếu f′(x₀)=0 và f″(x₀)>0 thì x₀ là cực tiểu; nếu f″(x₀)<0 thì là cực đại. Khi f″(x₀)=0, phép thử không kết luận và phải quay lại xét dấu hoặc khai triển.

Đọc đồ thị và bảng biến thiên

Tọa độ điểm cực trị trên đồ thị là (x₀,f(x₀)); giá trị cực trị là f(x₀). Đề hỏi “số điểm cực trị” khác với “số giá trị cực trị”: hai điểm cực tiểu có thể cùng tung độ nhưng vẫn là hai điểm.