Đạo hàm và khoảng đồng biến, nghịch biến

Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu x₁<x₂ kéo theo f(x₁)≤f(x₂); nghịch biến nếu f(x₁)≥f(x₂). Đạo hàm cho công cụ thực hành: f′(x)>0 trên khoảng thì hàm đồng biến, f′(x)<0 thì nghịch biến.

Quy trình xét tính đơn điệu

Tìm tập xác định trước. Tính f′, giải f′=0 và tìm những điểm f′ không xác định nhưng f còn xác định. Sắp các mốc trên trục số, xét dấu f′ ở từng khoảng rồi kết luận bằng khoảng mở. Điểm bị loại khỏi tập xác định luôn chia miền xét.

Với f(x)=x³−3x²+2, f′=3x(x−2). Đạo hàm dương trên (−∞,0), âm trên (0,2), dương trên (2,+∞). Vì vậy hàm đồng biến trên hai khoảng ngoài và nghịch biến trên (0,2).

Bài toán có tham số

Muốn hàm đồng biến trên toàn miền, thường cần f′≥0 với mọi x trong miền; dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm vẫn có thể cho hàm đồng biến nghiêm ngặt. Với tam thức bậc hai, điều kiện không âm mọi x liên hệ hệ số đầu dương và biệt thức Δ≤0.

Không được kết luận “f′(x₀)=0 nên hàm đạt cực trị”. Đạo hàm có thể không đổi dấu, như f(x)=x³ tại 0; bảng dấu mới quyết định chiều biến thiên.