Vector, phép cộng–trừ và các đẳng thức hình học

Vector AB biểu diễn độ dời từ A đến B, có điểm đầu A, điểm cuối B, phương, hướng và độ dài |AB|. Hai vector bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài, dù nằm ở vị trí khác nhau. Vector-không có điểm đầu trùng điểm cuối và độ dài bằng 0.

Cộng vector

Quy tắc ba điểm: AB+BC=AC. Ta đặt điểm đầu của vector sau tại điểm cuối vector trước; vector tổng nối điểm đầu tiên với điểm cuối cùng. Quy tắc hình bình hành cho hai vector chung gốc: đường chéo xuất phát từ gốc là tổng.

Vector đối và phép trừ

Vector đối của AB là BA. Vì vậy u−v=u+(−v). Chẳng hạn AB−AC=AB+CA=CB. Viết phép trừ thành phép cộng vector đối giúp tránh việc “trừ hình” bằng trực giác.

Trung điểm và trọng tâm

Nếu I là trung điểm AB thì IA+IB=0 và với mọi điểm M: MA+MB=2MI. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA+GB+GC=0; với mọi M: MA+MB+MC=3MG. Đây là các đẳng thức quan trọng để rút gọn biểu thức vector mà không cần chọn hệ tọa độ.

Phân tích theo hai vector không cùng phương

Trong mặt phẳng, nếu a và b không cùng phương thì mỗi vector x biểu diễn duy nhất dưới dạng x=ma+nb. Tính duy nhất này là nền tảng của tọa độ: hai hệ số m,n chính là tọa độ của vector trong cơ sở đã chọn.

Khi chứng minh một đẳng thức, hãy kiểm tra hướng của từng vector và chỉ áp dụng quy tắc ba điểm khi điểm cuối của vector trước đúng là điểm đầu của vector sau.