Xấp xỉ tích phân bằng quy tắc hình thang: từ tổng diện tích đến kiểm soát sai số

📐 Khi không có nguyên hàm hoặc chỉ có bảng số liệu

Chia [a,b] thành n khoảng đều độ rộng h=(b−a)/n. Trên mỗi khoảng, thay cung đồ thị bằng dây thẳng; diện tích hình thang cho tổng Tₙ=h[½f(x₀)+f(x₁)+…+f(xₙ₋₁)+½f(xₙ)].

Đồ thị cong trên đoạn được chia thành bốn khoảng, các dây thẳng tạo hình thang và phần chênh với đường cong minh họa sai số — Quy tắc dùng giá trị tại các nút; hai đầu có trọng số một nửa vì mỗi điểm trong chỉ thuộc hai hình thang kề nhau.

Ví dụ từ bảng

Với x=0,1,2 và f(x)=1,2,5, h=1: T₂=1[½·1+2+½·5]=5. Đây là xấp xỉ tích phân từ 0 đến 2 dựa trên ba giá trị đã biết.

Sai số và độ cong

Chia nhỏ thường cải thiện xấp xỉ khi hàm đủ trơn, nhưng không phải cứ thêm điểm tùy ý là chắc tốt nếu dữ liệu nhiễu. Hàm lồi làm dây cung nằm trên đồ thị nên quy tắc hình thang thường cho giá trị lớn hơn tích phân; hàm lõm cho chiều ngược lại.

⚠️ Diện tích có dấu

Tích phân xác định cộng diện tích có dấu. Nếu f âm, phần đóng góp âm; muốn diện tích hình học giữa đồ thị và trục phải chia tại nghiệm và dùng giá trị tuyệt đối phù hợp.

📚 Căn cứ biên soạn

Chương trình GDPT 2018.
Mạch kiến thức Kết nối tri thức với cuộc sống lớp 12 và Quyết định 3588/QĐ-BGDĐT.
Nội dung biên soạn độc lập, dùng ví dụ định lượng và nêu rõ giới hạn mô hình.

📚 Lý thuyết trọng tâm

Mục tiêu: Xây dựng quy tắc hình thang từ phân hoạch, tính gần đúng diện tích khi chỉ có bảng số liệu và đánh giá sai số qua độ mịn cùng độ cong của hàm.. Khi học Xấp xỉ tích phân bằng quy tắc hình thang: từ tổng diện tích đến kiểm soát sai số, hãy xác định khái niệm, điều kiện áp dụng và mối liên hệ giữa các dữ kiện; không chỉ ghi nhớ kết luận.

🧭 Ví dụ có hướng dẫn

Chọn một tình huống điển hình của bài. Bước 1: ghi dữ kiện và câu hỏi cần giải quyết. Bước 2: chọn khái niệm hoặc quy tắc phù hợp. Bước 3: giải thích từng bước và kiểm tra kết quả với điều kiện ban đầu. Nếu đổi một dữ kiện, hãy dự đoán kết quả thay đổi thế nào.

✍️ Luyện tập

Tóm tắt bài bằng ba ý: khái niệm, điều kiện và kết luận.
Tự tạo một ví dụ đúng và một phản ví dụ; chỉ ra điểm quyết định.
Giải lại ví dụ khi thay đổi một dữ kiện, sau đó nêu cách kiểm chứng.

Checklist tự đánh giá

Tôi giải thích được “vì sao”, không chỉ nêu đáp án.
Tôi nhận ra trường hợp không áp dụng được quy tắc.
Tôi kiểm tra được đơn vị, bằng chứng hoặc tính hợp lí của kết luận.