Phương pháp Newton: dùng tiếp tuyến để tìm nghiệm gần đúng và kiểm soát hội tụ

📐 Biến giao điểm tiếp tuyến thành dự đoán mới

Muốn giải f(x)=0, tại dự đoán x_n ta thay đồ thị cục bộ bằng tiếp tuyến. Giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành cho x_n+1=x_n−f(x_n)/f′(x_n), với điều kiện f′(x_n)≠0.

Đồ thị cong cắt trục hoành tại nghiệm r; tiếp tuyến tại x0 cắt trục tại x1 gần r hơn, tiếp tuyến tại x1 cho x2 gần hơn nữa — Hội tụ nhanh thường xảy ra khi điểm đầu đủ gần nghiệm đơn và hàm trơn; hình không bảo đảm mọi điểm đầu đều thành công.

Ví dụ √2

Đặt f(x)=x²−2. Khi đó x_n+1=(x_n+2/x_n)/2. Từ x₀=1, ta được x₁=1,5; x₂≈1,4167; x₃≈1,4142.

Tiêu chí dừng

Có thể dừng khi |x_n+1−x_n| nhỏ và |f(x_n+1)| cũng nhỏ so với ngưỡng đã chọn. Chỉ nhìn hai x liên tiếp đôi khi chưa đủ nếu bài toán điều kiện kém.

⚠️ Phương pháp có thể thất bại

Nếu đạo hàm bằng hoặc gần zero, bước nhảy có thể rất lớn. Điểm đầu xấu có thể làm dãy dao động, đi xa hoặc hội tụ tới nghiệm khác. Cần khảo sát đồ thị/khoảng đổi dấu, giới hạn số bước và đối chiếu nghiệm bằng thế lại.

📚 Căn cứ biên soạn

Chương trình GDPT 2018.
Mạch kiến thức Kết nối tri thức với cuộc sống lớp 12 và Quyết định 3588/QĐ-BGDĐT.
Nội dung biên soạn độc lập, nhấn mạnh điều kiện hội tụ, bảo toàn, đối chứng và giới hạn suy luận.

📚 Lý thuyết trọng tâm

Mục tiêu: Thiết lập công thức lặp Newton từ tiếp tuyến, thực hiện các bước gần đúng, chọn điểm đầu có lí do và nhận diện tình huống đạo hàm nhỏ, dao động hoặc hội tụ sai nghiệm.. Khi học Phương pháp Newton: dùng tiếp tuyến để tìm nghiệm gần đúng và kiểm soát hội tụ, hãy xác định khái niệm, điều kiện áp dụng và mối liên hệ giữa các dữ kiện; không chỉ ghi nhớ kết luận.

🧭 Ví dụ có hướng dẫn

Chọn một tình huống điển hình của bài. Bước 1: ghi dữ kiện và câu hỏi cần giải quyết. Bước 2: chọn khái niệm hoặc quy tắc phù hợp. Bước 3: giải thích từng bước và kiểm tra kết quả với điều kiện ban đầu. Nếu đổi một dữ kiện, hãy dự đoán kết quả thay đổi thế nào.

✍️ Luyện tập

Tóm tắt bài bằng ba ý: khái niệm, điều kiện và kết luận.
Tự tạo một ví dụ đúng và một phản ví dụ; chỉ ra điểm quyết định.
Giải lại ví dụ khi thay đổi một dữ kiện, sau đó nêu cách kiểm chứng.

Checklist tự đánh giá

Tôi giải thích được “vì sao”, không chỉ nêu đáp án.
Tôi nhận ra trường hợp không áp dụng được quy tắc.
Tôi kiểm tra được đơn vị, bằng chứng hoặc tính hợp lí của kết luận.