Dãy truy hồi: điểm cân bằng, biến đổi và tính ổn định

🔁 Quy tắc bước sau tạo cả một dãy

Dãy truy hồi được xác định từ giá trị đầu và quy tắc nối các bước. Với u_n+1=au_n+b, điểm cân bằng L thỏa L=aL+b. Khi a≠1, L=b/(1−a).

Các giá trị của dãy truy hồi tiến dần về đường cân bằng L khi trị tuyệt đối a nhỏ hơn một; bên cạnh là phép đổi v n bằng u n trừ L tạo cấp số nhân — Trừ điểm cân bằng biến truy hồi affine thành v_n+1=av_n, một cấp số nhân.

Công thức tường minh

Đặt v_n=u_n−L. Khi đó v_n+1=av_n, nên u_n=L+(u₀−L)aⁿ nếu bắt đầu từ n=0.

Đọc tính ổn định

|a|<1: aⁿ→0, dãy hội tụ về L.
−1<a<0: dãy thường dao động hai phía quanh L với biên độ giảm.
|a|>1: sai lệch khỏi L thường tăng, trừ trường hợp u₀=L.
a=−1: sai lệch đổi dấu nhưng không giảm; a=1 cần giải riêng.

⚠️ Mô hình phải giữ miền có nghĩa

Nếu u biểu diễn dân số hay tiền, quy tắc có thể cho số âm hoặc tăng vô hạn ngoài phạm vi thực tế. Hệ số có thể thay đổi theo thời gian, có giới hạn sức chứa hoặc nhiễu. Kết quả đại số cần được đối chiếu với đơn vị và giả định.

📚 Căn cứ biên soạn

Chương trình GDPT 2018.
Mạch kiến thức Kết nối tri thức với cuộc sống lớp 11 và Quyết định 3588/QĐ-BGDĐT.
Nội dung biên soạn độc lập, ưu tiên suy luận, điều kiện áp dụng và kiểm chứng.

📚 Lý thuyết trọng tâm

Mục tiêu: Giải dãy truy hồi tuyến tính bậc nhất bằng điểm cân bằng, phân tích hội tụ theo hệ số nhân và mô hình hóa quá trình rời rạc mà không nhầm chỉ số bước với thời gian liên tục.. Khi học Dãy truy hồi: điểm cân bằng, biến đổi và tính ổn định, hãy xác định khái niệm, điều kiện áp dụng và mối liên hệ giữa các dữ kiện; không chỉ ghi nhớ kết luận.

🧭 Ví dụ có hướng dẫn

Chọn một tình huống điển hình của bài. Bước 1: ghi dữ kiện và câu hỏi cần giải quyết. Bước 2: chọn khái niệm hoặc quy tắc phù hợp. Bước 3: giải thích từng bước và kiểm tra kết quả với điều kiện ban đầu. Nếu đổi một dữ kiện, hãy dự đoán kết quả thay đổi thế nào.

✍️ Luyện tập

Tóm tắt bài bằng ba ý: khái niệm, điều kiện và kết luận.
Tự tạo một ví dụ đúng và một phản ví dụ; chỉ ra điểm quyết định.
Giải lại ví dụ khi thay đổi một dữ kiện, sau đó nêu cách kiểm chứng.

Checklist tự đánh giá

Tôi giải thích được “vì sao”, không chỉ nêu đáp án.
Tôi nhận ra trường hợp không áp dụng được quy tắc.
Tôi kiểm tra được đơn vị, bằng chứng hoặc tính hợp lí của kết luận.