Tích vô hướng: đo mức độ hai vector cùng hướng

📐 Làm sao một phép nhân vector cho ra một con số?

Tích vô hướng kết hợp độ dài và góc: a·b=|a||b|cosθ. Nó đo phần của một vector nằm theo hướng vector kia. Kết quả là số vô hướng, không phải một vector mới.

Vector b được chiếu lên hướng vector a tạo độ dài b cos theta — Hình chiếu có dấu của b lên a là |b|cosθ; nhân với |a| cho tích vô hướng.

Dấu kể quan hệ hướng

θ nhọn: cosθ>0 nên a·b>0—hai vector có xu hướng cùng hướng.
θ=90°: tích bằng 0—hai vector vuông góc nếu đều khác vector zero.
θ tù: cosθ<0—thành phần chiếu ngược hướng.

Trong tọa độ, (a₁,a₂)·(b₁,b₂)=a₁b₁+a₂b₂.

Kiểm tra vuông góc

Với a=(2,1), b=(1,−2), ta có a·b=2·1+1·(−2)=0. Hai vector khác zero nên vuông góc. Không cần tính góc bằng máy.

⚠️ Tích bằng zero còn có trường hợp vector zero

Không được kết luận “vuông góc” nếu một vector bằng zero vì góc với vector zero không xác định. Cũng đừng nhân từng tọa độ rồi giữ thành cặp; phải cộng các tích tương ứng.

✅ Chọn cách tính

Có tọa độ thì nhân–cộng; có độ dài và góc thì dùng cos. Sau khi tính, kiểm tra dấu có phù hợp hình: góc nhọn không thể cho tích âm.

📚 Lý thuyết trọng tâm

Mục tiêu: Hiểu a·b=|a||b|cosθ qua góc, hình chiếu và dấu; dùng để kiểm tra vuông góc thay vì học máy móc.. Khi học Tích vô hướng: đo mức độ hai vector cùng hướng, hãy xác định khái niệm, điều kiện áp dụng và mối liên hệ giữa các dữ kiện; không chỉ ghi nhớ kết luận.

🧭 Ví dụ có hướng dẫn

Chọn một tình huống điển hình của bài. Bước 1: ghi dữ kiện và câu hỏi cần giải quyết. Bước 2: chọn khái niệm hoặc quy tắc phù hợp. Bước 3: giải thích từng bước và kiểm tra kết quả với điều kiện ban đầu. Nếu đổi một dữ kiện, hãy dự đoán kết quả thay đổi thế nào.

✍️ Luyện tập

Tóm tắt bài bằng ba ý: khái niệm, điều kiện và kết luận.
Tự tạo một ví dụ đúng và một phản ví dụ; chỉ ra điểm quyết định.
Giải lại ví dụ khi thay đổi một dữ kiện, sau đó nêu cách kiểm chứng.

Checklist tự đánh giá

Tôi giải thích được “vì sao”, không chỉ nêu đáp án.
Tôi nhận ra trường hợp không áp dụng được quy tắc.
Tôi kiểm tra được đơn vị, bằng chứng hoặc tính hợp lí của kết luận.