Tập hợp, khoảng số và các phép giao–hợp–hiệu

Tập hợp là một bộ sưu tập các đối tượng xác định, gọi là phần tử. Ta có thể liệt kê A={1,2,3} hoặc mô tả A={x∈ℤ | 1≤x≤3}. Thứ tự và việc lặp phần tử không làm thay đổi tập hợp.

Quan hệ chứa

A⊂B khi mọi phần tử của A đều thuộc B. Hai tập bằng nhau khi A⊂B và B⊂A. Tập rỗng ∅ không có phần tử và là tập con của mọi tập. Cần phân biệt x∈A (x là phần tử) với {x}⊂A (tập chỉ chứa x là tập con).

Giao, hợp và hiệu

A∩B gồm các phần tử đồng thời thuộc A và B. A∪B gồm phần tử thuộc A hoặc B hoặc cả hai. A\B gồm phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Khi có tập nền E, phần bù của A trong E là E\A.

Ví dụ A=[−2;3), B=(1;5]. Trên trục số, phần chung bắt đầu sau 1 và kết thúc trước 3 nên A∩B=(1;3). Phần phủ bởi ít nhất một tập là A∪B=[−2;5]. Hiệu A\B=[−2;1].

Khoảng, đoạn và nửa khoảng

Dấu ngoặc vuông lấy đầu mút; ngoặc tròn không lấy đầu mút. Với ±∞ luôn dùng ngoặc tròn vì vô cực không phải một số thực. Bất phương trình x≥2 tương ứng [2;+∞), còn −1<x≤4 tương ứng (−1;4].

Quy tắc De Morgan

Phần bù của một hợp bằng giao các phần bù: (A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ. Phần bù của một giao bằng hợp các phần bù. Cách nhớ tự nhiên: “không thuộc A hoặc B” nghĩa là vừa không thuộc A, vừa không thuộc B.

Khi bài có tham số, hãy vẽ các đầu mút lên cùng một trục và xét riêng trường hợp khoảng rỗng, một điểm hoặc có độ dài dương. Đây là nơi nhiều lời giải bỏ sót điều kiện.