Cấp số cộng, cấp số nhân và bài toán tăng trưởng

So sánh cấp số cộng và cấp số nhân — Cấp số cộng thêm d; cấp số nhân nhân q.

✅ Chọn mô hình

Mức tăng tuyệt đối không đổi → cấp số cộng. Tỷ lệ tăng không đổi → cấp số nhân.

1. Cấp số cộng

(un) là cấp số cộng nếu un+1=un+d với công sai d không đổi. Khi đó un=u1+(n−1)d và Sn=n(u1+un)/2.

2. Cấp số nhân

(un) là cấp số nhân nếu un+1=un·q với công bội q không đổi. Ta có un=u1q^(n−1); nếu q≠1 thì Sn=u1(1−q^n)/(1−q).

3. Nhận diện

Dãy 3,7,11,15 có hiệu liên tiếp bằng 4 nên là cấp số cộng. Dãy 3,6,12,24 có tỉ số liên tiếp bằng 2 nên là cấp số nhân.

4. Ví dụ

u1=2,d=3: u10=29 và S10=10(2+29)/2=155. Khoản tiền 10 triệu tăng 6% mỗi năm theo lãi kép có dạng 10·1,06^n, là mô hình cấp số nhân.

5. Lưu ý

Không kiểm tra tỉ số bằng phép chia khi số hạng trước bằng 0. Phân biệt n−1 khoảng tăng từ số hạng đầu đến số hạng thứ n.

📚 Lý thuyết trọng tâm

Mục tiêu: Nhận diện sai phân hoặc tỉ số không đổi, tính số hạng tổng quát và tổng hữu hạn.. Khi học Cấp số cộng, cấp số nhân và bài toán tăng trưởng, hãy xác định khái niệm, điều kiện áp dụng và mối liên hệ giữa các dữ kiện; không chỉ ghi nhớ kết luận.

🧭 Ví dụ có hướng dẫn

Chọn một tình huống điển hình của bài. Bước 1: ghi dữ kiện và câu hỏi cần giải quyết. Bước 2: chọn khái niệm hoặc quy tắc phù hợp. Bước 3: giải thích từng bước và kiểm tra kết quả với điều kiện ban đầu. Nếu đổi một dữ kiện, hãy dự đoán kết quả thay đổi thế nào.

✍️ Luyện tập

Tóm tắt bài bằng ba ý: khái niệm, điều kiện và kết luận.
Tự tạo một ví dụ đúng và một phản ví dụ; chỉ ra điểm quyết định.
Giải lại ví dụ khi thay đổi một dữ kiện, sau đó nêu cách kiểm chứng.

Checklist tự đánh giá

Tôi giải thích được “vì sao”, không chỉ nêu đáp án.
Tôi nhận ra trường hợp không áp dụng được quy tắc.
Tôi kiểm tra được đơn vị, bằng chứng hoặc tính hợp lí của kết luận.