Tối ưu hóa bằng đạo hàm: từ bài toán thực tế đến kiểm chứng nghiệm

📐 Đạo hàm chỉ giải mô hình đã được xây đúng

Một bài tối ưu cần biến quyết định, hàm mục tiêu, ràng buộc và miền khả thi. Nếu bỏ miền xác định, điểm cực trị tính đúng đại số vẫn có thể vô nghĩa: chiều dài âm, số sản phẩm không nguyên hoặc vượt ngân sách.

Ví dụ hộp không nắp

Từ tấm bìa a×b, cắt hình vuông cạnh x ở bốn góc: V(x)=x(a−2x)(b−2x), với 0<x<min(a,b)/2. Tính V′=0 để tìm ứng viên, rồi xét dấu hoặc giá trị cùng hành vi ở biên.

Quy trình sáu bước

1. Vẽ sơ đồ và chọn biến có đơn vị.
2. Viết mọi đại lượng theo một biến.
3. Lập hàm mục tiêu và miền khả thi.
4. Tìm điểm tới hạn bên trong miền.
5. So sánh ứng viên và biên.
6. Diễn giải, làm tròn sau cùng và kiểm tra độ nhạy.

⚠️ Mô hình có giả định

Hộp lí tưởng bỏ qua độ dày, mép ghép và vật liệu hao hụt. Nếu nghiệm sát biên hoặc thay đổi mạnh khi kích thước đầu vào đổi nhỏ, cần báo độ nhạy thay vì trình bày một con số giả chính xác.

✍️ Luyện tập

Tối ưu diện tích hình chữ nhật có chu vi cố định, sau đó thêm điều kiện một cạnh tối thiểu. So sánh nghiệm trước và sau ràng buộc.