Tích phân và thể tích khối tròn xoay: mô hình, tính toán và kiểm chứng

Tích phân cộng các lát thể tích rất mỏng

Khi miền phẳng quay quanh trục, mỗi lát tạo đĩa, vành khăn hoặc vỏ trụ. Với lát vuông góc trục quay: V=π∫[R(x)²−r(x)²]dx. Với vỏ trụ: V=2π∫(bán kính)(chiều cao)dx.

Ví dụ

Miền dưới y=√x, từ x=0 đến 4, quay quanh Ox. Lát đĩa có R=√x, r=0 nên V=π∫₀⁴x dx=8π đơn vị khối.

Khi trục quay dịch chuyển

Nếu quay quanh y=3, khoảng cách phải lấy tới đường y=3. Việc viết R=3−f(x) hay f(x)−3 phụ thuộc vị trí miền; bán kính phải không âm và bán kính ngoài phải lớn hơn bán kính trong.

Quy trình kiểm chứng

1. Phác miền và trục quay.
2. Chọn hướng lát cắt tránh phải chia quá nhiều đoạn.
3. Ghi bán kính/chiều cao bằng khoảng cách.
4. Kiểm tra cận phủ đúng miền.
5. Ước lượng kích thước và kiểm tra đơn vị bậc ba.

⚠️ Lỗi thường gặp

Quên bình phương bán kính, đổi nhầm bán kính trong–ngoài, hoặc dùng công thức đĩa khi khối có lỗ. Kết quả âm là tín hiệu mô hình sai.

✍️ Luyện tập

Tính thể tích miền giữa y=x và y=x² trên [0,1] quay quanh Ox bằng vành khăn, sau đó ước lượng để kiểm tra.