Thể tích bằng tích phân: lát cắt, đĩa–vành khăn và kiểm tra mô hình

Chuẩn biên tập: Kết nối tri thức với cuộc sống – mô hình hóa, giải thích cơ chế, kiểm tra điều kiện và vận dụng.

📐 Từ lát cắt mỏng đến thể tích

Nếu vật thể nằm từ x=a đến x=b và lát cắt vuông góc trục Ox tại x có diện tích A(x), thì V=∫ₐᵇA(x)dx, với A liên tục hoặc khả tích trong mô hình. Tư tưởng là cộng giới hạn các thể tích mỏng A(x)Δx.

Khối tròn xoay quanh Ox

• Đĩa: bán kính R(x), A(x)=πR²(x).
• Vành khăn: bán kính ngoài R(x), trong r(x), A(x)=π[R²(x)−r²(x)], với R≥r≥0.

Quy trình tránh sai

1. Vẽ miền và trục quay; xác định lát cắt vuông góc trục tích phân.
2. Tìm bán kính bằng khoảng cách tới trục quay, không chỉ chép hàm.
3. Xác định điểm đổi biên hoặc giao điểm để chia cận nếu cần.
4. Kiểm tra A(x)≥0 và đơn vị kết quả là đơn vị khối.

⚠️ Không lấy tích phân có dấu của bán kính

Diện tích lát cắt dùng bình phương khoảng cách. Nếu quay quanh đường y=c thì bán kính là |f(x)−c|; bình phương loại dấu nhưng vẫn phải xác định đúng bán kính ngoài và trong.