Mệnh đề toán học: từ giá trị đúng–sai đến điều kiện cần và đủ

Mệnh đề toán học là một câu khẳng định mà ta có thể xác định là đúng hoặc sai. Câu “2 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng; “9 nhỏ hơn 4” là mệnh đề sai. Câu hỏi, câu cảm thán hoặc một biểu thức đứng riêng thường chưa phải mệnh đề.

Mệnh đề chứa biến

Khẳng định x + 2 = 5 chưa có giá trị đúng–sai khi chưa biết x. Khi thay x bằng một giá trị cụ thể, nó trở thành mệnh đề. Với x=3, khẳng định đúng; với x=1, khẳng định sai. Tập hợp mọi giá trị làm khẳng định đúng chính là tập nghiệm.

Phủ định một mệnh đề

Phủ định của P, ký hiệu ¬P, phải đảo đúng giá trị chân lý. Phủ định của “mọi học sinh đều có máy tính” là “có ít nhất một học sinh không có máy tính”, không phải “mọi học sinh đều không có máy tính”. Tương tự, phủ định của “tồn tại x thỏa A(x)” là “với mọi x, A(x) không đúng”.

Mệnh đề kéo theo

P ⇒ Q được đọc là “nếu P thì Q”. Mệnh đề này chỉ sai trong trường hợp P đúng nhưng Q sai. Trong một định lý, P thường là giả thiết và Q là kết luận. P là điều kiện đủ để có Q; Q là điều kiện cần của P.

Ví dụ: “Nếu một số chia hết cho 4 thì nó chia hết cho 2” đúng. Chiều đảo “Nếu chia hết cho 2 thì chia hết cho 4” sai, vì 6 là phản ví dụ. Một phản ví dụ hợp lệ đủ để bác bỏ một khẳng định phổ quát.

Tương đương và điều kiện cần đủ

P ⇔ Q nghĩa là đồng thời có P ⇒ Q và Q ⇒ P. Khi giải phương trình, mỗi phép biến đổi tương đương phải giữ nguyên tập nghiệm. Bình phương hai vế hoặc nhân với một biểu thức chưa biết dấu có thể chỉ tạo phép kéo theo và sinh nghiệm ngoại lai, vì vậy cần thử lại.