Định lý cosin, định lý sin và cách giải tam giác

Cạnh góc và đường tròn ngoại tiếp tam giác

Trong tam giác ABC, các cạnh a,b,c lần lượt đối diện góc A,B,C. “Giải tam giác” là tìm các cạnh và góc còn thiếu từ dữ kiện đã cho. Ba công cụ trung tâm là tổng góc, định lý cosin và định lý sin.

Định lý cosin

a²=b²+c²−2bc cosA, cùng hai công thức hoán vị. Công thức phù hợp khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết ba cạnh cần tìm góc. Nó mở rộng định lý Pythagore: nếu A=90° thì cosA=0 và a²=b²+c².

Ví dụ b=7, c=5, A=60°. Khi đó a²=49+25−70·1/2=39, nên a=√39. Không được lấy a=−√39 vì độ dài dương.

Định lý sin

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Định lý sin thuận tiện khi đã có một cặp cạnh–góc đối diện. Tuy nhiên trường hợp biết hai cạnh và một góc không xen giữa có thể cho 0, 1 hoặc 2 tam giác; cần kiểm tra góc bù vì sinB=sin(180°−B).

Diện tích

S=1/2·bc·sinA khi biết hai cạnh và góc xen giữa. Ngoài ra S=abc/(4R), S=pr với p là nửa chu vi, r là bán kính nội tiếp; công thức Heron S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)] dùng khi biết ba cạnh.

Một quy trình đáng tin cậy

Vẽ hình gần đúng và gắn đúng cạnh đối diện; chọn công thức sử dụng trực tiếp dữ kiện; giữ nhiều chữ số trong bước trung gian; kiểm tra tổng ba góc bằng 180° và cạnh lớn nhất đối diện góc lớn nhất. Chỉ làm tròn ở kết quả cuối để tránh sai số lan truyền.

📚 Lý thuyết trọng tâm

Mục tiêu: Chọn công thức theo dữ kiện, giải tam giác và kiểm soát sai số làm tròn.. Khi học Định lý cosin, định lý sin và cách giải tam giác, hãy xác định khái niệm, điều kiện áp dụng và mối liên hệ giữa các dữ kiện; không chỉ ghi nhớ kết luận.

🧭 Ví dụ có hướng dẫn

Chọn một tình huống điển hình của bài. Bước 1: ghi dữ kiện và câu hỏi cần giải quyết. Bước 2: chọn khái niệm hoặc quy tắc phù hợp. Bước 3: giải thích từng bước và kiểm tra kết quả với điều kiện ban đầu. Nếu đổi một dữ kiện, hãy dự đoán kết quả thay đổi thế nào.

✍️ Luyện tập

Tóm tắt bài bằng ba ý: khái niệm, điều kiện và kết luận.
Tự tạo một ví dụ đúng và một phản ví dụ; chỉ ra điểm quyết định.
Giải lại ví dụ khi thay đổi một dữ kiện, sau đó nêu cách kiểm chứng.

Checklist tự đánh giá

Tôi giải thích được “vì sao”, không chỉ nêu đáp án.
Tôi nhận ra trường hợp không áp dụng được quy tắc.
Tôi kiểm tra được đơn vị, bằng chứng hoặc tính hợp lí của kết luận.