Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nửa mặt phẳng và miền nghiệm hệ bất phương trình

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax+by≤c (hoặc <, ≥, >), trong đó a và b không đồng thời bằng 0. Mỗi cặp (x,y) làm bất phương trình đúng là một nghiệm; toàn bộ nghiệm tạo thành một nửa mặt phẳng.

Từ đường biên đến nửa mặt phẳng

Trước hết vẽ đường thẳng ax+by=c. Nếu dấu có “bằng”, đường biên thuộc miền nghiệm và được vẽ liền; nếu là dấu nghiêm ngặt, đường biên không thuộc miền nghiệm. Chọn một điểm thử không nằm trên đường, thường là O(0,0). Nếu điểm thử thỏa, lấy phía chứa nó; nếu không, lấy phía đối diện.

Với 2x+y≤4, đường biên đi qua (0,4) và (2,0). Điểm O cho 0≤4 đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa O, kể cả đường biên.

Hệ bất phương trình

Nghiệm của hệ là giao của tất cả các nửa mặt phẳng. Miền này thường là một đa giác lồi, có thể không bị chặn hoặc rỗng. Đừng tô riêng từng bất phương trình rồi chọn bằng mắt; hãy xác định rõ phần giao cuối cùng và kiểm tra các đỉnh.

Bài toán tối ưu tuyến tính

Khi cần tối đa hóa F=ax+by trên một miền đa giác kín, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đạt tại ít nhất một đỉnh. Quy trình: đặt biến và đơn vị; lập các ràng buộc, kể cả x≥0, y≥0; vẽ miền khả thi; tìm tọa độ đỉnh; tính F tại từng đỉnh; diễn giải kết quả theo bài toán.

Ví dụ một sản phẩm A dùng 2 giờ máy và 1 giờ hoàn thiện, B dùng 1 giờ máy và 2 giờ hoàn thiện. Có tối đa 8 giờ máy, 10 giờ hoàn thiện: 2x+y≤8, x+2y≤10, x,y≥0. Các giao điểm của đường biên tạo danh sách phương án cần kiểm tra.

Kiểm tra thực tế: nếu x,y là số sản phẩm thì nghiệm cuối có thể phải nguyên; nghiệm tối ưu liên tục không tự động là phương án sản xuất hợp lệ.

📚 Lý thuyết trọng tâm

Mục tiêu: Biến mỗi bất phương trình thành một nửa mặt phẳng và tìm miền khả thi của bài toán thực tế.. Khi học Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hãy xác định khái niệm, điều kiện áp dụng và mối liên hệ giữa các dữ kiện; không chỉ ghi nhớ kết luận.

🧭 Ví dụ có hướng dẫn

Chọn một tình huống điển hình của bài. Bước 1: ghi dữ kiện và câu hỏi cần giải quyết. Bước 2: chọn khái niệm hoặc quy tắc phù hợp. Bước 3: giải thích từng bước và kiểm tra kết quả với điều kiện ban đầu. Nếu đổi một dữ kiện, hãy dự đoán kết quả thay đổi thế nào.

✍️ Luyện tập

Tóm tắt bài bằng ba ý: khái niệm, điều kiện và kết luận.
Tự tạo một ví dụ đúng và một phản ví dụ; chỉ ra điểm quyết định.
Giải lại ví dụ khi thay đổi một dữ kiện, sau đó nêu cách kiểm chứng.

Checklist tự đánh giá

Tôi giải thích được “vì sao”, không chỉ nêu đáp án.
Tôi nhận ra trường hợp không áp dụng được quy tắc.
Tôi kiểm tra được đơn vị, bằng chứng hoặc tính hợp lí của kết luận.