Cực trị hàm số và bảng biến thiên

1. Cực trị mô tả điều gì?

Hàm số f đạt cực đại tại x₀ nếu trong một lân cận của x₀, f(x)≤f(x₀); đạt cực tiểu nếu f(x)≥f(x₀). Đây là tính chất địa phương, không đồng nghĩa với giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên toàn miền.

2. Điều kiện cần và dấu hiệu đủ

Nếu f có đạo hàm tại x₀ và đạt cực trị tại đó thì f′(x₀)=0. Chiều ngược lại không luôn đúng: f(x)=x³ có f′(0)=0 nhưng đạo hàm dương ở cả hai phía nên không có cực trị.

Dấu hiệu chắc chắn: nếu f′ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại; nếu đổi từ âm sang dương thì là điểm cực tiểu.

3. Quy trình lập bảng biến thiên

1. Tìm tập xác định.
2. Tính f′(x), giải f′(x)=0 và tìm nơi f′ không xác định nhưng f xác định.
3. Chia trục số, xét dấu f′ trên từng khoảng.
4. Suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến và tính giá trị cực trị.

4. Ví dụ có lời giải

Xét f(x)=x³−3x²+2. Ta có f′(x)=3x(x−2). Dấu f′ dương trên (−∞,0), âm trên (0,2), dương trên (2,+∞). Vì vậy f đạt cực đại tại x=0 với f(0)=2 và cực tiểu tại x=2 với f(2)=−2.

5. Sai lầm thường gặp

• Thấy f′(x₀)=0 rồi kết luận ngay có cực trị.
• Quên xét điểm đạo hàm không tồn tại.
• Gọi x₀ là “cực trị”; chính xác hơn, x₀ là điểm cực trị còn f(x₀) là giá trị cực trị.

6. Tự luyện

Lập bảng biến thiên của g(x)=x⁴−2x². Đối chiếu: g′(x)=4x(x²−1); các điểm cần xét là −1, 0, 1.