Lý thuyết mệnh đề – Giải thích đơn giản, dễ hiểu

1. Mệnh đề và câu chứa biến

1.1. Mệnh đề là gì?

Mệnh đề là một câu khẳng định mà ta có thể xác định chắc chắn câu đó đúng hoặc sai.

Một mệnh đề chỉ có thể:

• Đúng; hoặc
• Sai.

Không thể vừa đúng vừa sai.

Ví dụ:

• “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề đúng.
• “10 là số lẻ” là mệnh đề sai.
• “Số 6 chia hết cho 2” là mệnh đề toán học đúng.

Người ta thường dùng các chữ cái như \(P, Q, R,\ldots\) để đặt tên cho các mệnh đề.

Ví dụ:

\(P:\text{ “Số 6 chia hết cho 2”}\)

Những câu không phải là mệnh đề

Các câu hỏi, câu cảm thán, câu yêu cầu thường không phải là mệnh đề vì không thể nói chúng đúng hay sai.

Ví dụ:

• “Bạn bao nhiêu tuổi?” là câu hỏi.
• “Ôi, cảnh đẹp quá!” là câu cảm thán.
• “Hãy mở cửa ra!” là câu yêu cầu.

Những câu này đều không phải là mệnh đề.

1.2. Câu chứa biến

Câu chứa biến là câu có chứa một chữ chưa biết như \(x\), \(n\), \(a\),… Vì chưa biết giá trị của chữ đó nên ta chưa thể kết luận câu đúng hay sai.

Khi thay biến bằng một giá trị cụ thể, câu chứa biến sẽ trở thành một mệnh đề.

Ví dụ:

\(P(n):\text{ “5n chia hết cho 2”}\)

• Nếu \(n=4\), ta có \(5n=20\). Số 20 chia hết cho 2 nên câu đúng.
• Nếu \(n=5\), ta có \(5n=25\). Số 25 không chia hết cho 2 nên câu sai.

Còn câu “20 chia hết cho 2” không chứa biến và là một mệnh đề đúng.

2. Mệnh đề phủ định

Phủ định một mệnh đề có nghĩa là nói điều trái ngược với mệnh đề đó.

Mệnh đề phủ định của \(P\) được kí hiệu là:

\(\overline{P}\)

Khi viết mệnh đề phủ định, ta thường thêm hoặc bỏ các từ như:

• “không”;
• “không phải”;
• “chưa”.

Nếu \(P\) đúng thì \(\overline{P}\) sai. Ngược lại, nếu \(P\) sai thì \(\overline{P}\) đúng.

Ví dụ:

• \(P\): “5 chia hết cho 3” — sai.
• \(\overline{P}\): “5 không chia hết cho 3” — đúng.

Một ví dụ khác:

• \(P\): “10 là hợp số” — đúng.
• \(\overline{P}\): “10 không phải là hợp số” — sai.

3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo

3.1. Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề có dạng:

Nếu \(P\) thì \(Q\)

được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu:

\(P\Rightarrow Q\)

Trong đó:

• \(P\) là giả thiết hoặc điều kiện;
• \(Q\) là kết luận.

Ví dụ:

• \(P\): “Số 9 chia hết cho 9”.
• \(Q\): “Số 9 chia hết cho 3”.

Mệnh đề kéo theo là:

Nếu 9 chia hết cho 9 thì 9 chia hết cho 3.

Mệnh đề này đúng.

Điều kiện đủ và điều kiện cần

Trong mệnh đề \(P\Rightarrow Q\), ta có thể nói:

• \(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\);
• \(Q\) là điều kiện cần để có \(P\).

Hiểu đơn giản:

• Có \(P\) thì chắc chắn có \(Q\).
• Muốn có \(P\) thì cần phải có \(Q\).

Khi nào mệnh đề kéo theo sai?

Mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) chỉ sai trong trường hợp:

• \(P\) đúng;
• Nhưng \(Q\) lại sai.

Ví dụ:

Nếu 6 chia hết cho 2 thì 6 là số lẻ.

Ở đây:

• “6 chia hết cho 2” là đúng;
• “6 là số lẻ” là sai.

Vì vậy, mệnh đề trên sai.

3.2. Mệnh đề đảo

Mệnh đề đảo của \(P\Rightarrow Q\) là:

\(Q\Rightarrow P\)

Hiểu đơn giản, ta đổi chỗ giả thiết và kết luận cho nhau.

Ví dụ:

• \(P\): “\(n=0\)”.
• \(Q\): “\(n\) là số nguyên”.

Mệnh đề ban đầu:

Nếu \(n=0\) thì \(n\) là số nguyên.

Mệnh đề này đúng.

Mệnh đề đảo:

Nếu \(n\) là số nguyên thì \(n=0\).

Mệnh đề này sai vì số nguyên còn có \(1, 2, -1, -2,\ldots\), chứ không chỉ có số 0.

Như vậy, một mệnh đề đúng nhưng mệnh đề đảo của nó chưa chắc đã đúng.

4. Mệnh đề tương đương

Mệnh đề có dạng:

\(P\) nếu và chỉ nếu \(Q\)

được gọi là mệnh đề tương đương, kí hiệu:

\(P\Leftrightarrow Q\)

Hai mệnh đề \(P\) và \(Q\) tương đương khi cả hai chiều sau đều đúng:

\(P\Rightarrow Q\)

và

\(Q\Rightarrow P\)

Khi đó, ta có thể nói:

• \(P\) tương đương với \(Q\);
• \(P\) khi và chỉ khi \(Q\);
• \(P\) là điều kiện cần và đủ để có \(Q\).

Ví dụ:

• \(P\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành”.
• \(Q\): “Tứ giác \(ABCD\) có hai cặp cạnh đối song song”.

Ta có:

Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì nó có hai cặp cạnh đối song song.

Chiều này đúng.

Nếu tứ giác \(ABCD\) có hai cặp cạnh đối song song thì nó là hình bình hành.

Chiều này cũng đúng.

Do đó:

\(P\Leftrightarrow Q\)

Ta phát biểu:

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi nó có hai cặp cạnh đối song song.

5. Kí hiệu \(\forall\) và \(\exists\)

5.1. Kí hiệu \(\forall\)

Kí hiệu:

\(\forall\)

đọc là “với mọi” hoặc “tất cả”.

Ví dụ:

\(\forall x\in\mathbb{R},\ x+0=x\)

Đọc là:

Với mọi số thực \(x\), ta đều có \(x+0=x\).

Nói bình dân hơn:

Số thực nào cộng với 0 cũng bằng chính số đó.

5.2. Kí hiệu \(\exists\)

Kí hiệu:

\(\exists\)

đọc là “có ít nhất một” hoặc “tồn tại”.

Ví dụ:

\(\exists x\in\mathbb{Z},\ x<0\)

Đọc là:

Có ít nhất một số nguyên \(x\) nhỏ hơn 0.

Mệnh đề này đúng, chẳng hạn ta có thể chọn \(x=-1\).

Một số kí hiệu tập hợp thường gặp

• \(\mathbb{N}\): tập hợp số tự nhiên.
• \(\mathbb{Z}\): tập hợp số nguyên.
• \(\mathbb{R}\): tập hợp số thực.
• \(x\in X\): \(x\) thuộc tập hợp \(X\).

6. Phủ định mệnh đề có \(\forall\) và \(\exists\)

Đây là phần rất quan trọng. Có thể nhớ theo quy tắc:

• Phủ định của “mọi” là “có ít nhất một trường hợp không”.
• Phủ định của “có ít nhất một” là “tất cả đều không”.

Phủ định của mệnh đề “với mọi”

Mệnh đề ban đầu:

\(\forall x\in X,\ P(x)\)

Phủ định là:

\(\exists x\in X,\ \overline{P(x)}\)

Ví dụ:

Mọi học sinh trong lớp đều đi học đúng giờ.

Phủ định phải là:

Có ít nhất một học sinh trong lớp không đi học đúng giờ.

Không nên phủ định thành “Mọi học sinh đều đi học muộn”, vì câu đó mạnh hơn mức cần thiết.

Phủ định của mệnh đề “tồn tại”

Mệnh đề ban đầu:

\(\exists x\in X,\ P(x)\)

Phủ định là:

\(\forall x\in X,\ \overline{P(x)}\)

Ví dụ:

\(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2+1=0\)

Phủ định là:

\(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2+1\ne 0\)

Đọc là:

Với mọi số thực \(x\), \(x^2+1\) đều khác 0.

Bài tập mệnh đề

Bài 1. Lập mệnh đề phủ định

a) “Số 50 chia hết cho 3”

Mệnh đề phủ định:

Số 50 không chia hết cho 3.

Vì \(50\) chia cho \(3\) còn dư \(2\), nên mệnh đề phủ định này đúng.

b) “Số 10 là hợp số”

Mệnh đề phủ định:

Số 10 không phải là hợp số.

Số 10 có các ước là \(1, 2, 5, 10\), nên 10 là hợp số. Vì vậy, mệnh đề phủ định là sai.

Bài 2. Xét hai mệnh đề có tương đương không

Cho:

• \(P\): “Tam giác \(ABC\) có ba cạnh bằng nhau”.
• \(Q\): “Tam giác \(ABC\) là tam giác đều”.

Xét chiều thứ nhất:

\(P\Rightarrow Q\)

Nếu tam giác \(ABC\) có ba cạnh bằng nhau thì tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Mệnh đề này đúng.

Xét chiều ngược lại:

\(Q\Rightarrow P\)

Nếu tam giác \(ABC\) là tam giác đều thì tam giác \(ABC\) có ba cạnh bằng nhau.

Mệnh đề này cũng đúng.

Vậy:

\(P\Leftrightarrow Q\)

Có thể phát biểu theo các cách:

• Tam giác \(ABC\) có ba cạnh bằng nhau tương đương với tam giác \(ABC\) là tam giác đều.
• Tam giác \(ABC\) có ba cạnh bằng nhau khi và chỉ khi nó là tam giác đều.
• Tam giác \(ABC\) có ba cạnh bằng nhau là điều kiện cần và đủ để nó là tam giác đều.

Bài 3. Viết bằng kí hiệu \(\forall\) hoặc \(\exists\)

a) Có một số nguyên không chia hết cho 2

Viết bằng kí hiệu:

\(\exists x\in\mathbb{Z},\ x\not\vdots 2\)

Cũng có thể viết:

\(\exists x\in\mathbb{Z},\ 2\nmid x\)

Đọc là:

Tồn tại một số nguyên \(x\) không chia hết cho 2.

Ví dụ \(x=3\).

b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó

Viết bằng kí hiệu:

\(\forall x\in\mathbb{R},\ x+0=x\)

Bài 4. Phát biểu và lập mệnh đề phủ định

a) Mệnh đề

\(P:\forall x\in\mathbb{Z},\ x^2\geq 0\)

Phát biểu:

Mọi số nguyên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng 0.

Phủ định:

\(\overline{P}:\exists x\in\mathbb{Z},\ x^2<0\)

Phát biểu:

Có ít nhất một số nguyên có bình phương nhỏ hơn 0.

Mệnh đề ban đầu đúng và mệnh đề phủ định sai.

b) Mệnh đề

\(Q:\exists x\in\mathbb{Z},\ x<0\)

Phát biểu:

Có ít nhất một số nguyên nhỏ hơn 0.

Phủ định:

\(\overline{Q}:\forall x\in\mathbb{Z},\ x\geq 0\)

Phát biểu:

Mọi số nguyên đều lớn hơn hoặc bằng 0.

Mệnh đề ban đầu đúng, còn mệnh đề phủ định sai.