Bất phương trình là một câu so sánh toán học giữa hai biểu thức chứa ẩn số (thường là $x$), trong đó hai bên không bằng nhau mà một bên sẽ lớn hơn, nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng, hoặc nhỏ hơn hoặc bằng bên kia.
Tại sao lại gọi là "Bất phương trình"?
Tên gọi này được ghép bởi các từ Hán - Việt rất dễ hiểu:
Phương trình: "Phương" là phương thức, công thức; "Trình" là trình bày. Phương trình là công thức trình bày sự CÂN BẰNG (Dấu bằng
=) giữa hai bên.Bất: Có nghĩa là KHÔNG (như trong bất bình đẳng, bất ổn).
Bất phương trình: Là công thức trình bày sự KHÔNG CÂN BẰNG giữa hai bên (Dùng các dấu $>$, $<$, $\ge$, $\le$).
So sánh nhanh:
Phương trình: $x + 3 = 5$ (Đi tìm duy nhất 1 điểm cân bằng: $x = 2$).
Bất phương trình: $x + 3 < 5$ (Đi tìm cả một vùng đáp án làm cho vế trái nhỏ hơn vế phải: $x < 2$).
Ứng dụng thực tế của Bất phương trình
Trong thực tế, chúng ta hiếm khi cần một số chính xác tuyệt đối, mà thường phải làm việc với các giới hạn, mức tối đa, hoặc mức tối thiểu. Bất phương trình chính là công cụ cho các bài toán đó:
Tài chính & Chi tiêu (Ngân sách tối đa):
Bạn có 200.000 VNĐ đi siêu thị. Mua một món đồ 50.000 VNĐ, còn lại mua nước giải khát giá 15.000 VNĐ/chai.
Bất phương trình: $50.000 + 15.000 \cdot x \le 200.000 \rightarrow$ Giúp bạn biết mình có thể mua tối đa bao nhiêu chai nước ($x \le 10$).
Kinh doanh & Sản xuất (Điểm hòa vốn & Có lời):
Để chi trả tiền mặt bằng và nhân công hết 20 triệu/tháng, mỗi sản phẩm lãi 50.000 VNĐ.
Bất phương trình: $50.000 \cdot x > 20.000.000 \rightarrow$ Cần bán nhiều hơn 400 sản phẩm ($x > 400$) thì mới bắt đầu có lãi.
Giao thông & An toàn (Giới hạn tốc độ):
Biển báo tốc độ ghi 60 km/h nghĩa là tốc độ xe $v$ phải thỏa mãn: $v \le 60$.
Quy hoạch & Tối ưu hóa:
Giúp các công ty vận tải tính toán làm sao chở được lượng hàng nhiều nhất nhưng không vượt quá tải trọng cho phép của xe hay cầu đường.
Những điều quan trọng cần lưu ý khi giải Bất phương trình
ĐỔI DẤU BẤT ĐẲNG THỨC khi Nhân hoặc Chia với SỐ ÂM (Lỗi hay sai nhất!):
Nếu nhân hoặc chia cả hai vế cho một số dương $\rightarrow$ Giữ nguyên chiều dấu.
Nếu nhân hoặc chia cả hai vế cho một số âm $\rightarrow$ BẮT BUỘC ĐỔI CHIỀU dấu ($>$ thành $<$, $\ge$ thành $\le$, và ngược lại).
Ví dụ: $-2x < 6 \rightarrow x > \frac{6}{-2} \rightarrow x > -3$ (đã đảo dấu từ $<$ thành $>$).
Không tự ý nhân/chia hai vế cho một biểu thức chứa biến ($x$) khi chưa biết dấu:
Không được tự ý nhân hai vế với $x$ vì không biết $x$ là số âm hay số dương để quyết định có đổi chiều dấu hay không.
Tập nghiệm thường là một KHOẢNG/ĐOẠN, không phải một số đơn lẻ:
Nghiệm của phương trình thường là vài số cụ thể (ví dụ: $x = 2$).
Nghiệm của bất phương trình thường là vô số giá trị nằm trong một khoảng (ví dụ: $x \in (-\infty; 2)$).
Lưu ý điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Giống như phương trình, nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẫu số hoặc dưới dấu căn bậc hai, luôn phải tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa trước khi giải.
